XXXV CONGRESSO NAZIONALE A.I.F. 1996
G.Imbalzano - Dalla meccanica classica alla fisica moderna.
ABSTRACT. I tried to reduce the theory of this work of synthesis which
got inspiration from a not drawn subject of the 1990 competitive examination
for mathematicians and physicist schools inspectors. It is not recommended to
stick just to this interpretation to get to a direct one. It is helpful a
second thought of this kind on both classical and modern mechanics. From
Galilei to Fermat ant through Newton, Lagrange or Hamilton, it is needful to
get to physicist like Ehrenfest, Dirac and Breit (until now nearly unknown to
common high schools) in order to understand the conceptual upsetting of the
modern approach to science. And now may the problem on the nature of the
mysterious quark be introduced, without reducing physics to a mere
philosophical account?
RIASSUNTO. Un tema di concorso ad ispettore del 1990 (non sorteggiato)
per la classe di Matematica e Fisica ispira questo lavoro di sintesi, in cui
ho cercato di alleggerire la teoria. Nonostante che non sia consigliabile
limitarsi solo a questa "lettura" per una esegesi diretta, si ritiene utile
un ripensamento di questo tipo sulla meccanica classica e moderna. Partendo
da Galilei e Fermat, attraverso Newton ed ancora Lagrange o Hamilton, sembra
opportuno pervenire a fisici come Ehrenfest, Dirac e Breit (a tutt'oggi
misconosciuti in normali corsi liceali) per comprendere appieno il
capovolgimento concettuale del moderno approccio alla scienza.
E come introdurre il problema sulla natura dei fantomatici quarks,
senza per ridurre la Fisica a un puro racconto filosofico?
MECCANICA CLASSICA.
I tre principi fondamentali della meccanica vettoriale di
Galilei e Newton sono riassunti dalle equazioni del moto durante
il tempo (t): dpi/dt = Fi + Ri { i = 1..n } ove il vettore p
rappresenta la quantit di moto p= mv = mdq/dt (prodotto tra
la massa m e la velocit v della i-esima particella).
Se nel secondo membro dell'equazione dpi/dt = Fi + Ri la
forza attiva Fi e la forza di reazione Ri sono nulle, si ottiene
il 1 principio (d'inerzia) se nullo il primo membro si ha il
3 principio (d'azione e reazione). Il principio di Galilei
consiste semplicemente nell'equazione dp/dt= F, valida allorch
si considera una particella singola, in assenza di forze di
reazione R. Analogamente, per il momento angolare L= r^p risulta:
dL/dt = M ove M rappresenta il momento della quantit di moto.
Generalizzando, possiamo scrivere: dpj/dt= Fj {j = 1..3n}
dove le quantit p sono quindi da intendere quali momenti
coniugati, cio relativi alle coordinate generalizzate q ed
inglobando in F le forze compatibili con i vincoli. Tale
descrizione della meccanica pu risultare complicata e
poco maneggevole fino a quando non si trovino le grandezze
invarianti rispetto al sistema di coordinate, quale l'energia del
sistema di particelle.
Il metodo della meccanica analitica (che risale a Leibniz,
Euler, Lagrange ed Hamilton) risolve invece il problema partendo
dagli invarianti possibili onde pervenire ai sistemi di
coordinate pi adatti alla descrizione del moto.
In un sistema conservativo Fdq+dV= 0 sicch F= -dV/dq ed
inoltre: p= T/q`, come si ricava dall'espressione dell'energia:
T = m(dq/dt)/2 = pq`/2.
Le equazioni del moto possono allora cos esprimersi:
(T/ q`)` = -V/q ovvero, ponendo L=T-V e ricordando che
V/q`= T/q= 0, come (L/q`)` + L/q = 0 .
L'espressione L la cosiddetta funzione lagrangiana, mentre
l'energia totale H= T+V si chiama hamiltoniana. Per questa
valgono le equazioni canoniche:
q`= dH/dp, p`= -dH/dq, dH/dt= -dL/dt e nella formulazione
hamiltoniana si preferisce determinare H= H(q,p,t) anzich
L= L(q,q`,t). Ancora, si dimostra che l'integrale:
L = Ldt
minimo rispetto ad una variazione delle (q;q`) se e solo se
sono soddisfatte le equazioni del moto stesse. Analogamente,
rispetto alle variabili (q;p) per una variazione di H:
H = Hdt = 0.
PRINCIPIO DI FERMAT.
L'integrale W = pq`dt = Wdt
si definisce quale azione del moto o funzione caratteristica di
Hamilton; poich L = W - H , per una variazione delle variabili
(q;t) in cui l'energia (H = E) risulta invariante, abbiamo il
principio di minima azione: dW= 0 , e
L(q,t) = W-Et = costante. Tale importante principio appare come
la generalizzazione del principio dell'ottica geometrica di
Fermat:
s= ndt = 0
dove la quantit v = c/n c rappresenta la velocit della luce
relativa. Basti pensare che nella funzione d'onda f(Kq-t), ove
/K= v , per un valore di K all'incirca costante la "fase
dell'onda"
= Kq-t= Kq'dt-t costante.
Introducendo la costante di Planck h_ = h/(2), per cui
p= dW/dq= h_K, E= h_, l'equazione d'onda
f/q + (n/c)f = 0 pu riscriversi in forma
quantistica: f/q = -(p/h_)f (Schrdinger 1926).
BOHR (1913, 1927).
La meccanica quantistica fu introdotta per risolvere il
problema dei livelli energetici del "corpo nero"
(Planck 1900) dell'effetto fotoelettrico (Einstein 1905) e
dell'atomo. Bohr tent] il primo approccio a questo problema, i
cui livelli fondamentali dipendono dagli interi n secondo
la formula:
E= -Zm(c/n)/2.
Qui e= 1.6E-19 Coulomb, m'= m'M/(m'+M)= 0.5E+6 eV/c sono
rispettivamente la carica elementare e la massa ridotta
relativa al baricentro dell'elettrone di massa m' ed al nucleo
atomico di massa M, Z il numero atomico, la costante
dielettrica nel vuoto ed = e/(4hc) la cosiddetta costante
di struttura fine. Nella versione pi avanzata, Bohr sfruttava le
relazioni p= h/l, E= h (De Broglie 1925), che assegnano anche
ai corpuscoli (di elevata energia) il comportamento di un'onda
di lunghezza l e frequenza . Egli associava altres le
equazioni della forza centrifuga F= -mq`/r e dell'energia
(negativa) dell'elettrone in un campo elettrico centrale:
E= mq`/2-Ze/(4r)= -Ze/(8r).
Era cos possibile pervenire anche al valore della
velocit dell'elettrone: v= cZ/n per le orbite circolari di
raggio r= hn/(Zmc).
Tuttavia, solo la teoria di Sommerfeld permise di
spiegare le caratteristiche delle orbite ellittiche compatibilmente
con le equazioni relativistiche:
(c)=(E/c)-p, avendo posto = m [1-] quale massa a
riposo, con = v/c= pc/E (Einstein 1905). Ma occorre riprendere
i metodi della meccanica analitica, soprattutto al fine di spiegarci
nei sistemi fisici la comparsa di determinate grandezze intere
(quantizzazione).
EHRENFEST (1914).
Se in un sistema fisico introduciamo una perturbazione,
normalmente si produce una variazione delle grandezze osservabili
che lo descrivono. Tuttavia, possono esistere delle grandezze
destinate a restare costanti in seguito a piccole perturbazioni,
oppure variabili in seguito ad una leggera perturbazione solo
secondo numeri interi: tali grandezze si chiamano invarianti
adiabatici. Un esempio viene fornito dall'integrale chiuso
d'azione
W = O PdQ= J O d= 2nJ
per il momento angolare P= J coniugato con la coordinata
angolare Q= , od in particolare in presenza di moti periodici
puri. In tal caso, possiamo addirittura considerare la media
costante W/(2) quale momento coniugato, cosicch la coordinata
canonica relativa rappresentata da w= (E/p)t+cost..
ricordando che costante rispetto al tempo anche la derivata
w`= H/p. La perturbazione relativa ad un certo parametro l,
che potrebbe essere la lunghezza del filo di un pendolo. Tenendo
conto della gravit e della forza centrifuga
l+l
V= [mgcos + ml`](-dl) il lavoro compiuto per un
l
lento accorciamento del filo, ove g rappresenta l'accelerazione
di gravit e l'angolo formato dal filo rispetto alla
verticale (l'esempio di Ehrenfest). Poich per piccole
oscillazioni cos()= 1-2sin(/2) 1-f/2, il lavoro che
incrementa l'energia del moto pendolare, prescindendo quindi
dal lavoro di innalzamento, risulta nelle medie su , ':
l+l __ ___
V= V+mgl= [mg/2-ml`]dl= (mg/2-ml`)l,
l
appunto considerando la variazione dl molto lenta rispetto a d.
D'altra parte, per piccole oscillazioni l'energia stessa del
moto pendolare eguale a: ______ __ __ ___
V= m(l)`/2 + mgl/2= mgl= mgl`,
ricordando che nel moto armonico l'energia si distribuisce in
parti eguali fra i due addendi. Combinando con la precedente:
V/V= -l/(2l)= /; ricorrendo alla legge di Torricelli
{ = g/l, risulta pertanto V/= costante= J= nh se si postula
che J rappresenta un invariante adiabatico; cos si ottengono
i livelli energetici di Planck: V= nh= nh dell'energia (V)
in funzione della frequenza dell'oscillatore armonico.
L'estensione della regola di quantizzazione
Wi= O pidqi= nih a pi variabili possibile solo se esse
risultano separabili nelle equazioni del sistema fisico.
Un esempio rappresentato dai due possibili modi di vibrazione
ortogonali per un sistema bidimensionale, che descrivono durante
il moto tipiche curve (di Lissajous): in particolare, la curva
corrispondente risulta un'orbita chiusa se le due frequenze
sono commensurabili, un'ellisse nel caso di degenerazione in
un'unico valore (fx= fy).
SOMMERFELD (1916).
Usando l'espressione della forza centripeta per l'elettrone
immerso nel campo elettrico di un nucleo di carica Ze, a distanza r:
F= -(J/r)/(mr)= -Ze/(4r) si ottiene (considerando il
momento angolare totale J una costante) l'energia potenziale
V= -Fdr = J/(2mr).
L'energia totale H diminuita dell'energia di massa (a riposo)
c, risulta perci:
(m-)c= H-c= J/(2mr)-Ze/(4r)= -Ze/(4r)/2 < 0.
Ancora, siccome Ze/(4r)= J/(mr)= Jp/(mr)= Jpc/(Hr), si
ottiene una velocit che pu considerarsi quella dell'elettrone:
v= pc/H= Zhc/J= cZ/(nr+nl'), avendo usato la regola di
quantizzazione J= Jr+Jl'= (nr + nl')h . Possiamo immaginare
che il momento Jr rappresenti l'oscillazione radiale
dell'elettrone che orbita ellitticamente intorno al nucleo
(in generale, r non costante), Jl quella angolare.
Nell'interpretazione di Sommerfeld, J rappresenta un moto a
rosetta dell'ellisse dovuto alla variazione relativistica della
massa. Vedremo che nl' soggetto ad una correzione relativistica
dipendente dalla stessa velocit dell'impulso pl, perpendicolare
a pr, ma a questo punto seguiremo al meglio possibile le formule
di Dirac. L'energia totale H= c-p/(2) rappresenta solo
l'approssimazione di una relazione quadratica (H/c)= (c)-p
che, per quanto strano, risulta compatibile con l'equazione
relativistica a cui soddisf l'energia meccanica E, in assenza di
campo esterno: (E/c) = (c)+(mv).
La spiegazione pi convincente di tale sconcertante relazione
verr solo dalla successiva interpretazione di Dirac: nelle
equazioni della meccanica quantistica, come
(H/c)= (c)+(ip), sono ammesse anche componenti immaginarie,
per quanto siano misurabili solo le corrispondenti grandezze
reali, come p. Da quanto sopra si ottiene
(c)-(H/c)= p= (H/c)(Z)/(nr+nl'),
quindi H= c[1+Z/(nr+nl')]-1/2. Occorre infine assoggettare
nl' alla correzione relativistica dovuta alla "velocit
tangenziale" v:
nl'= nl[1-(v/c)]-1/2= nl[1-(Z/nl)]-1/2= [nl-(Z)]^-1/2.
Tenuto conto che nl da considerare intero e non nl', ci
elimina nella formula la classica degenerazione degli autovalori
interi nell'unico (nr+nl').
Osserviamo infine come i "quadrati" quantistici dei momenti J= jh
in realt darebbero il valore osservabile J= j(j+1)h poich nelle
equazioni corrispondono infatti ad elementi di matrice e non a
quantit semplicemente vettoriali. Tuttavia, nelle formule
lineari a cui si riducono le grandezze puramente energetiche dei
fermioni (particelle di momento angolare proprio S= h/2) pu
dimostrarsi la validit dell'approssimazione usata. Tale
circostanza, per cui al numero quantico angolare j occorre
sommare un valore semintero s= 1/2 (lo spin), pone in evidenza
le difficolt della teoria semiclassica di Sommerfeld.
DIRAC (1925-28).
La teoria di Sommerfeld, a parte i valori non seminteri dei
momenti angolari a cui occorre sommare un valore di spin J=
h/2 permanente per l'elettrone, non spiega ancora l'effetto
Zeeman anomalo. Per il momento angolare J=lh nell'interpretazione
di Sommerfeld 0 h/2, Ht> h/2 (Heisenberg 1927) ove
per x s'intende qui l'errore quadratico. In base a ci, quando
si determini p= J, momento coniugato alla coordinata
spaziale q= , quest'ultima completamente indeterminata;
cos pure gli intervalli di tempo, se fissiamo l'energia
J/(2mr). La velocit del corpo in moto raggiunge allora il suo
valore limite v= rd/dt = c (velocit della luce). Ora, la
determinazione di J ed E soddisf proprio a queste ipotesi: la
carica dell'elettrone rotante nell'equazione di Dirac presente
in un termine cinematico aggiuntivo di energia magnetica che
proviene sostanzialmente da un doppio prodotto nello sviluppo
quadratico dell'energia relativistica. Raggiunge comunque,
secondo la composizione relativistica delle velocit, il
valore-limite:
l i m (c-v)/(1-v/c) = c (rispetto al resto del sistema).
v-->c
Aldil di tali considerazioni -giustificabili solo in base ad
una rigorosa analisi della localizzazione probabile
dell'elettrone- la nuova meccanica esige una definizione
operativa delle misure: gli stessi modelli matematici devono
rispondere a tale esigenza, in linea con una nota
interpretazione della meccanica analitica (Bridgman 1927). Le
grandezze osservabili (quali massa, forza e perfino linea retta)
possono definirsi solo in base ai numeri quantici o
autovalori delle equazioni differenziali che coinvolgono non
solo scalari e vettori ma anche matrici.
BREIT (1928).
La trattazione pi rigorosa dell'elettrone vincolato ad un
nucleo di carica Ze comporta in realt, nello stato
fondamentale, un momento magnetico calcolato da Breit:
M(Z)= m(1+2[1-(Z)])/3 che dipende dalle componenti
(relativistiche) di J e dalla velocit v= Zc. Si osservi che il
numero delle dimensioni dello spazio coincide con il
l i m { M(0) / M(Z) } = 3 .
Z->0
NOTA. Il risultato precedente pu fornire una spiegazione
di una sconcertante propriet della fisica moderna.
Nella teoria dei quark (componenti degli stessi protoni,
Gell-Mann 1961) si costretti ad imporre a tali componenti della
materia cariche elettriche multiple di e/3. Ma, nonostante i
calcoli che derivano dalla carica frazionaria dei quark sono
del tutto compatibili con le interazioni delle particelle,
non sembra realizzabile la loro decomposizione in quark.
Ricordiamo ora che la frazione m/3 del momento magnetico
dell'elettrone ne rappresenta solo una sua componente spaziale:
nella stessa prospettiva occorre forse interpretare anche la
carica frazionaria dei quark. Possiamo concludere con un grande
insegnamento, gi emerso dalle difficolt emerse in seguito alla
teoria dell'atomo. I numeri quantici che forniscono le grandezze
invarianti fondamentali hanno significato solo relativamente a
quel dato sistema di coordinate canoniche in cui si misurano le
grandezze associate (momenti coniugati). Ci comporta la
necessit che il modello matematico di un fenomeno fisico venga
fatto discendere dai principi fondamentali che coerentemente lo
delimitano, cos come avviene nella meccanica analitica da cui
ebbe inizio il cammino della fisica moderna.
BIBLIOGRAFIA MINIMA.
1] J.W.Leech, Classical Mechanics, London 1958 Methuen & John Wiley;
2] L.D.Landau e E.M.Lifshic, Meccanica, Torino 1965 Boringhieri;
3] E.Persico, Fondamenti della Meccanica atomica, Bologna 1939 Zanichelli;
4] M.Born, Fisica atomica, Torino 1968 Boringhieri;
5] G.Herzberg, Spettri atomici e struttura atomica, Torino 1961 Boringhieri.
Giovanni Imbalzano.
(
geocities.com/capecanaveral)