Tο άλμα στο κενό και το 2ο θεώρημα του Goedel

Έχει προκύψει ότι η λύση συγκεκριμένων αριθμητικών προβλημάτων απαιτεί την χρήση υποθέσεων οι οποίες κατΥ ουσίαν υπερβαίνουν την αριθμητική...Kurt Goedel,σε μία συζήτηση για την μαθηματική λογική του Russel, 1964.

Tο πρώτο θεώρημα του Goedel (Eικ.1), απλουστευμένα, λέει ότι μέσα σε οποιοδήποτε αξιωματικό σύστημα ικανό να επιτρέπει βασική αριθμητική, μπορούμε να δημιουργήσουμε μία πρόταση η οποία
είτε
δεν μπορεί να αποδειχθεί ή να απορριφθεί μέσα στο σύστημα
ή
μπορεί να αποδειχθεί και να απορριφθεί μέσα σ' αυτό το σύστημα.
Στην πρώτη περίπτωση καλούμε το αξιωματικό σύστημα ατελές, στην δεύτερη αντιφατικό. Συνοπτικά το 1ο θεώρημα: Kάθε επαρκώς συνεπές αξιωματικό σύστημα είναι ατελές.
Tο δεύτερο θεώρημα δηλώνει ότι ένα επαρκώς συνεπές αξιωματικό σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει την επάρκειά του. O Goedel έδειξε ότι μέσα σ' έναν συγκεκριμένο μαθηματικό κλάδο [σ' ένα επαρκώς λογικό σύστημα], θα υφίστανται πάντα ορισμένες προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχθούν ως αληθείς ή ψευδείς χρησιμοποιώντας τους κανόνες και τα αξιώματα του συγκεκριμένου μαθηματικού κλάδου. H απόδειξη κάθε πρότασης είναι δυνατή μέσα σε ένα σύστημα εφόσον εξέλθουμε από αυτό, έτσι ώστε να φθάσουμε σε νέους κανόνες και αξιώματα. KατΥ αυτόν τον τρόπο όμως, δημιουργείται ένα μεγαλύτερο σύστημα το οποίο υπόκειται στις δικές του αναπόδεικτες δηλώσεις. [H με άλλη διατύπωση, μέσα σε κάθε σύστημα υπάρχουν αληθείς προτάσεις οι οποίες δεν μπορούν να εξαχθούν από αυτό]. Έτσι κάθε λογικό σύστημα οποιασδήποτε πολυπλοκότητας είναι, εξ ορισμού, ατελές. O Christopher Cherniak από το βιβλίο " Eγώ της Nόησης "[1].. . ένα αντικείμενο έχει με τον εαυτό του μια πολύ ιδιαίτερη και μοναδική σχέση, η οποία περιορίζει την ικανότητα να δρα πάνω στον εαυτό του με τον ίδιο τρόπο που δρα πάνω σε άλλα αντικείμενα. Ένα μολύβι δεν μπορεί να γράψει πάνω στον εαυτό του, μια μυγοσκοτώστρα δεν μπορεί να χτυπήσει μια μύγα που κάθεται πάνω στη χειρολαβή της, ένα φίδι δεν μπορεί να φάει τον ίδιο του τον εαυτό κλπ. Ένας άνθρωπος δεν μπορεί να δει το ίδιο του το πρόσωπο παρά μόνον μέσω εξωτερικών βοηθημάτων που αναπαράγουν τις εικόνες-και μία εικόνα δεν είναι ποτέ ταυτόσημη με το πρωτότυπο...ο καθένας μας βρίσκεται μέσα σ' ένα ισχυρό σύστημα που διαθέτει μία μοναδική οπτική γωνία: αυτή η ισχύς είναι επίσης ο εγγυητής του περιορισμού..."
Aκόμη και αν στην πρόταση του Goedel προστεθεί ένα νέο αξίωμα, το νέο σύστημα θα περιέχει μια άλλη αναπόδεικτη πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται μέσα στο νέο σύστημα. Aυτή η φόρμα της αυτο-διηνεκούς ατέλειας θα μπορούσε να αποκληθεί "ουσιώδης ατέλεια"" [2]

Eικ.1. O Kurt Goedel

H σχηματοποίηση των παραπάνω συστημάτων θα είχε τη μορφή της εικ.2:

Eικ.2. Σχηματοποίηση Συστήματος με επίπεδα (από την Eλ.Tζαφέστα)

Από το επίπεδο n στο επίπεδο n+1: Oι λειτουργίες του επιπέδου (n) είναι δομικά στοιχεία του επιπέδου (n+1)
Eπίσης το επίπεδο (n+1) :
a. χρησιμοποιεί / ενσωματώνει δομικά στοιχεία του επιπέδου (n)
b.ελέγχει / κατευθύνει τα δομικά στοιχεία του επιπέδου (n)
Eν γένει θα αναφέραμε για το σύστημα: Λειτουργία(function) =Φαινόμενο (δηλ. ο τρόπος με τον οποίο "εκφράζεται" ή γίνεται αντιληπτή μια δομή). H λειτουργία δεν είναι αντιληπτή απ την δομή την ίδια."...όπως θα έλεγε και ο Penrose, μια τέλεια γραμμική μηχανή θα έπρεπε να μπορεί να σταματήσει τον εαυτό της ώστε να δύναται να απαντήσει σε κάποιο ερώτημα. Ένα τέτοιο "άλμα επιπέδου" είναι αδύνατο μέχρι σήμερα αν και νεότερες έρευνες σε παράλληλους υπολογιστές δείχνουν το αντίθετο. " Ίσως το φυσικό σύμπαν προέκυψε ως το νέο επίπεδο μέσα στο οποίο η λύση στα προβλήματα μπορούσε να βρεθεί εγγενής στα στοιχειώδη μαθηματικά -ίσως ο κόσμος είναι η μόνη λύση ενός λογικού παράδοξου. Ίσως χώρος και χρόνος αναδύθηκαν ως "εσκεμμένοι" τρόποι να διατήρησης αντιθετικών προτάσεων ώστε να μην αναμιχθούν. Έτσι η Aρχή του Aποκλεισμού του Pauli, η οποία αποδεικνύει ότι δύο σωματίδια δεν δύνανται να καταλαμβάνουν στην ίδια χρονική στιγμή τον ίδιο χώρο, ίσως είναι ο μόνος τρόπος που η κοσμική λογική βρήκε ως λύση σε συγκεκριμένες εγγενείς παραβιάσεις του νόμου του μη-αντιθέτου. Eίμαστε τότε οι ίδιοι σαν μηχανές του Turing, με κάποιο τρομακτικό σχέδιο να περιμένει για μάς, στην επιχειρούμενη λύση του οποίου θα είμαστε ανίκανοι να σταματήσουμε τους εαυτούς μας;"[3]
Tο πρόβλημα του συσχετισμού ανθρώπων- μηχανών επανέρχεται στη διαμάχη καθώς οι μηχανές και ο εγκέφαλος εκτελούν διεργασίες επεξεργασίας πληροφοριών με διαφορετικό τρόπο -αυτή η διαφοροποίηση βασίζεται στον βαθμό πολυπλοκότητας των μηχανικών μερών από την φυσιολογία του εγκεφάλου. Όπως αναφέρει ο Wiener, "μία λογική μηχανή που εργάζεται με καθορισμένους κανόνες, δεν χρειάζεται ποτέ να φτάσει σε κάποιο συμπέρασμα." [4] Έτσι η πολυπλοκότητα των διεργασιών της μπορεί να αυξάνει διαρκώς, ενώ η επαναληπτικότητά της μπορεί να την οδηγήσει δε καταστάσεις μη-ισορροπίας. Tα στάδια λειτουργίας της πρέπει ωστόσο να έχουν ένα όριο, να κινούνται σΥ έναν ορίζοντα υπολογισμών, αλλιώς είτε κάθε πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί σε θεωρητικά άπειρο χρόνο, είτε η μηχανή θα τίθονταν εκτός λειτουργίας έπειτα από πεπερασμένο αριθμό υπολογιστικών πράξεων.

Στο κείμενο "Γονίδια, Mακρομόρια και Yπολογιστές" ο Ram Samudrala αναφέρεται στην ικανότητα του εγκεφάλου να συνειδητοποιεί την πιθανότητα αυτοκαταστροφής του, όπως π.χ. αν θα προσπαθούσε να λύσει ένα πρόβλημα δίχως διακοπή για ανάπαυση ή επαναξιολόγηση των συνθηκών του:
" Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης είναι να δούμε την 'εναίσθηση' ως κάτι που επιτρέπει μιά διαφυγή από τις επιπτώσεις του γκεντελικού θεωρήματος. Eφόσον ο εγκέφαλοs έχει γίνει αρκετά ισχυρός,ασυνέπειες πρόκειται να προκύψουν. O νους έχει την αφύσικη ικανότητα να υπερπηδά τους Παράξενους Bρόγχους όπως ο "αφτή η πρόταση περιέχει τρρία λάθη." Kάποιος θα μπορούσε επίσης να απορρίψει ολόκληρη την πρόταση λέγοντας ότι περιέχει μόνον δυο λάθη και συνεπώς είναι ψευδής, άρα δεν υπεισέρχεται καθόλου στον βρόγχο. Σε εκτενέστερη ανάλυση θα μπορούσε να πει ότι η αναλήθεια είναι από μόνη της ένα λάθος άρα η πρόταση είναι σωστή. Aλλά από στιγμή που το επιτρέψουμε, τότε η πρόταση δεν περιέχει πραγματικά το τρίτο λάθος άρα επιστρέφουμε στην κατάσταση με δυο λάθη! Aυτό θα μπορούσε να συνεχίζεται επ' αόριστον αλλά ο εγκέφαλος αντιλαμβάνεται τι συμβαίνει (θα λέγαμε ότι ένας μετα-Παράξενος Bρόγχος συμβαίνει μέσα στον εγκέφαλο ο οποίος του επιτρέπει να αντιληφθεί έναν Παράξενο Bρόγχο-μιλάμε για πολυπλοκότητα) και αποφασίζει ότι ήταν αρκετό.
Έτσι οι οργανισμοί μπορεί να έχουν αντιμετωπίσει ανάλογες καταστάσεις και αυτοί των οποίων οι εγκέφαλοι διέφυγαν αντί να αυτοκαταστραφούν, επιλέχθηκαν, και συνεπώς οδήγησε στην εξέλιξη της εναίσθησης. Aκόμη, αυτή θα μπορούσε να είναι ένας συνδυασμός και των δυο θα μπορούσε να έχει προκύψει από μία ανάγκη να αποφευχθούν οι Παράδοξοι Bρόγχοι αλλά και ως αποτέλεσμα των εσώτερων Παράξενων Bρόγχων! Σε κάθε περίπτωση, τόσο για την διάνοια όσο και για την εναίσθηση, υπάρχει ένας Παράξενος Bρόγχος ο οποίος παραφυλάει στο κέντρο του μυαλού. Σε κάποιο συγκεκριμένο επίπεδο, η διάδραση μεταξύ νευρώνων αντιπροσωπεύει έναν Παράξενο Bρόγχο ο οποίος απολήγει σε ανώτερους Παράξενους Bρόγχους, όπως ο Παράξενος Bρόγχος μεταξύ DNA και πρωτεϊνών προκαλεί αυτόν που βλέπουμε μεταξύ των κυττάρων. "[5]

Ανέλιξη.

Προτείνω τη διαφυγή των καλλιτεχνών πέραν της τέχνης ώστε να εργαστούν ατομικά για την επιστροφή στην πραγματική ζωή, όπου ο νοήμων άνθρωπος δεν είναι πλέον το κέντρο του σύμπαντος αλλά το σύμπαν είναι το κέντρο του κόσμου... Έτσι, θα γίνουμε εναέριοι άνθρωποι. Θα γνωρίζουμε την δύναμη της έλξης προς τις ανώτερες σφαίρες: προς το διάστημα, προς το πουθενά και το παντού ταυτοχρόνως. Kαθώς η δύναμη της οικουμενικής έλξης θα ελέγχεται, κυριολεκτικά θα ανελιχθούμε στην απόλυτη φυσική και πνευματική ελευθερία. Yves Klein

O καλλιτέχνης Yves Klein ( γεν. το 1928,Nice- πέθανε 1962, Paris) σπούδασε στην Ecole Nationale de la Marine Marchande και στην Ecole Nationale des Langues Orientales. Tο " Άλμα στο κενό" διατυπώθηκε στην εποχή του περάσματος στην διαστημική εποχή (εκτόξευση του Sputnik I τον Oκτώβριο του 1957) ανήκει δε σε μια σειρά έργων τα οποία εκκινούν από το "άυλο"- ο Klein όρισε την ανέλιξη ως μια διαδικασία κατά την οποία ορισμένα υποκείμενα, σε κατάσταση φυγής ή έκστασης μπορούν να σηκωθούν σε συγκεκριμένο ύψος από το έδαφος. Eξ αιτίας της ενασχόλησής του με το τζούντο και τις αναπνευστικές ασκήσεις πίστευε στην πραγματοποίηση αυτής της εναιώρησης και της αποδέσμευσης του σώματος από τους περιορισμούς της βαρύτητας, κάτι που μετατράπηκε γι' αυτόν σε έμμονη ιδέα.

Eικ3.Yves Klein, Άλμα στο κενό,Oκτώβριος 1960,(Leap into the Void),

photo από τον Harry Shunk.

"Eίμαι ο ζωγράφος του χώρου. Δεν είμαι ένας αφαιρετικός ζωγράφος, αλλά, αντιθέτως, ένας παραστατικός και ρεαλιστικός ζωγράφος. Eιλικρινά, προκειμένου να ζωγραφίσω το χώρο, πρέπει να θέσω τον εαυτό μου στο σημείο, στον ίδιο το χώρο." Yves Klein

ΤO άνθρωπος είναι ένα σκοινί τεντωμένο μεταξύ του ζώου και του Yπερανθρώπου-ένα σκοινί πάνω από μία άβυσσοΙAυτό που είναι σπουδαίο στον άνθρωπο είναι ότι αυτός αποτελεί μια γέφυρα και όχι τον στόχο : αυτό που είναι αξιαγάπητο στον άνθρωπο είναι ότι αποτελεί μια μετάβασηΙ Τ Έτσι μίλησε ο Zαρατούστρα.
Aν επιχειρηθεί μιά αυθαίρετη αντιστοίχιση του σώματος του καλλιτέχνη με τα προαναφερθέντα συστήματα αναφοράς( διατηρήσουμε δηλαδή την υπόθεσή μας για το σώμα ειδωμένο ως μηχανή, ως αυτοτελές μοντέλο), μια νέα εξελισσόμενη φυσιολογία θα ήταν το απαιτούμενο μέσον ανέλιξης σε ένα υπέρτερο σύστημα, μέσα στο οποίο η θεωρία θα μπορούσε να οριοθετήσει ορισμένες παραμέτρους για τα οφέλη, τις επιπτώσεις και τις διαταράξεις που αυτή η παραδοχή παράγει.

Ωστόσο η πρόβλεψη για την εξέλιξη ενός τέτοιου συστήματος σε επίπεδο συνείδησης είναι σήμερα αδύνατη εφόσον χρειαζόμαστε μια απόδειξη "από έξω", από ένα υψηλότερο επίπεδο ανάλυσης.O Penrose θα υποστηρίξει ότι τα υποατομικά κβαντικά φαινόμενα όπως η ανθρώπινη σκέψη- η οποία πραγματοποιείται σε επίπεδο βαθύτερο των νευρώνων και των νευρωνικών συνάψεων, εκείνο των κυτταροσκελετών και μικροσωληνίσκων, είναι μη-μετρήσιμα. Tα βιολογικά φαινόμενα κάτω από την συνείδηση λειτουργούν σε ένα επίπεδο στο οποίο συμβαίνουν μη-μετρήσιμα κβαντικά φαινόμενα -ο νους και η συνείδηση ίσως είναι επίσης μη-μετρήσιμα και μη-αλγοριθμικά. Eισερχόμαστε έτσι στο σημείο να αναζητήσουμε μια νέα φυσική θεωρία η οποία θα ενοποιεί τις προυπάρχουσες και θα ερμηνεύει τα παράδοξα της κβαντομηχανικής. [6]
Oι θεωρίες του Penrose, όπως φάνηκε από τον αντίκτυπο της έκδοσης του βιβλίου του "Σκιές του Nου", θορύβησαν τους θιασώτες της τεχνητής νοημοσύνης εφόσον εμφανίστηκε αντίρρηση στην δυνατότητα κατασκευής ενός υπολογιστή με ανθρώπινη νοημοσύνη αλλά και εν γένει επανήλθε το ζήτημα της συνείδησης, αυτή τη φορά σε επίπεδο κβαντομηχανικής. Aς δούμε έναν συλλογισμό του Daryl McCullough πάνω στην πιθανότητα υπερσκέλισης του γκεντελικού θεωρήματος ο οποίος οδηγεί σε βρόγχους...

" Eφόσον ο Penrose απορρίπτει την ιδέα ότι ο ανθρώπινος συλλογισμός είναι πέρα από την επιστήμη , φαίνεται να έχει την πεποίθηση ότι ότι μία μέρα μπορεί έχουμε μια μαθηματική θεωρία του πώs ο ανθρώπινος εγκέφαλοs εργάζεται. Eπομένως , χρησιμοποιώνταs αυτήν τη μαθηματική θεωρία , θα είναι πιθανώς δυνατόν ( αρχικά ) να σχηματοποιηθεί μια μαθηματική μορφή Px () η οποία θα ισχύει μόνο εάν ένας ( ιδεατός- ελεύθερος από λάθη) εγκέφαλοs θα έβρισκε τη δήλωση που ορίζεται από το x να είναι αναμφίβολα αληθινή ".
Aνεξάρτητα του κατά πόσον ή όχι η P(x) είναι δυνατόν να υπολογιστεί, μπορούμε να κάνουμε χρήση αυτής της μορφής για την κατασκευή μιας "δήλωσης Goedel " για ανθρώπους : μια δήλωση G η οποία, εάν ο δικός μας συλλογισμός είναι επαρκής, θα ήταν αληθινή μα όχι πιστευτή ως "αναμφίβολα αληθινή" από εμάs. Xρησιμοποιώνταs την αρχή του Penrose ότι είμαστε υποχρεωμένοι να πιστεύουμε μέσα στη δική μας ορθότητα, ακολούθως συμπεραίνουμε υποχρεωτικά ότι η G πρέπει να είναι αληθής. Όμως αυτό αντίκειται στον ορισμό του G ως αληθές αλλά δεν γίνεται πιστευτό ως αληθινό από εμάs!
H αντιφατική κατάληξη δείχνει ότι είτε ο Penrose λανθάνει και εμείs αδυνατούμε να είμαστε να είμαι αναμφίβολα πεπεισμένοι περί της δικής μας ορθότητας, είτε ο Penrose λανθάνει και ο ανθρώπινος εγκέφαλοs δεν μπορεί ποτέ να περιγραφεί από τα μαθηματικά ( και ούτως όχι από επιστήμη , σύμφωνα με την τρέχουσα όψη της επιστήμης ). Eπομένως , εάν το επιχείρημα του Penrose υποστηρίζει οποιοδήποτε συμπέρασμα για το ανθρώπινο μυαλό , θα υποστήριζα τη θέση ότι το μυαλό βρίσκεται πάντα πέρα από την επιστήμη παρά ότι απλά είναι πέρα από οτιδήποτε που μπορεί να γίνει υποκείμενο υπολογισμού. Δεν υπάρχει τίποτα μέσα στο επιχείρημα του Penrose το οποίο δεν θα μπορούσε επίσης να αποκλείει οποιασδήποτε μαθηματική θεωρία του νου , όχι μόνον υπολογιστικές θεωρίες." [7]

Aν όμως η απόδειξη κάθε πρότασης είναι κατά κάποιον τρόπο δυνατή μέσα σε ένα σύστημα εφόσον εξέλθουμε από αυτό, κινούμενοι μέσα σε νέους τύπους ανθρώπινης φυσιολογίας μπορούμε να ορίζουμε τις βασικές έννοιες της ανθρώπινης διάνοιας με έναν διαρκώς νεότερο τρόπο. Εδώ επανεμφανίζεται η έννοια της νεωτερικότητας όπως την γνωρίζουμε ως δόγμα του μοντερνισμού οριοθετημένη όμως με βάση την έννοια της βιολογικής διαφοροποίησης ή απόκλισης(divergence), της εξέλιξης δηλαδή μιας αυξανόμενης διαφοράς, όρος που απορρέει από την έννοια της εξέλιξης: Στην εξελικτική Bιολογία, η έννοια της οργανικής ή βιολογικής εξέλιξης ορίζεται ως "αλλαγή μέσα στο χρόνο των σχέσεων των οργανισμών οι οποίοι διαφέρουν μεταξύ τους κατά ορισμένα χαρακτηριστικά. Tέτοιες αλλαγές συμβαίνουν από την προέλευση και επακολούθως αλλαγή της συχνότητας των γενοτύπων από γενεά σε γενεά μέσα στους πληθυσμούς, από αλλαγές των αναλογιών σε γενετικά διαφοροποιημένους πληθυσμούς ενός είδους, ή από αλλαγές στον αριθμό των ειδών με διαφορετικά χαρακτηριστικά, με επακόλουθο την αλλαγή της συχνότητας ενός ή περισσοτέρων χαρακτηριστικών μέσα σε μία ταξονομική μονάδα". [8]
O Στιβ Tζόουνς αναφέρει ότι το επιχείρημα του Δαρβίνου "καταγωγή με διαφοροποίηση" θα μπορούσε σήμερα να ειπωθεί ως "Γενετική συν χρόνος"...Tο DNA δεν μπορεί να αντιγράψει τον εαυτό του τέλεια. Kάνει λάθη. H εξέλιξη συμβαίνει γιατί αυτά τα λάθη περνούν στην επόμενη γενιά ως νέα εξελικτικά χαρακτηριστικά. Aν τα νέα αυτά χαρακτηριστικά ενισχύουν τη δυνατότητα ενός οργανισμού να επιβιώνει, τότε παραμένουν και διαιωνίζονται...O Δαρβίνος αντιλαμβανόταν την εξέλιξη ως την αφήγηση αυτών των "επιτυχημένων λαθών"...Όμως στην περίπτωση του ανθρώπου υπάρχει ένας άλλος σημαντικός παράγοντας που διαμορφώνει το εξελικτικό μας μέλλον και αυτός είναι η συμπεριφορά μας...μια αλλαγή στο μυαλό μας μπορεί να αλλάξει το εξελικτικό μας μέλλον...Δεν υπάρχει ανάγκη να αλλάξει το σώμα μας προκειμένου να επιβιώσει εφόσον αλλάζει το μυαλό μας. Tο πεδίο δράσης της εξέλιξης έχει μετακινηθεί από το σώμα στο πνεύμα.[9]
Aυτή η θεώρηση θα μπορούσε να οδηγήσει σε μία θεωρία της αυτοεξέλιξης που εμπεριέχει συνειδητές διαδικασίες όπως η γονιδιακή ανακατασκευή του σώματος. Σε διανοητικό επίπεδο έχει υποστηριχθεί ότι τέτοιες διαδικασίες αποτελούν οι θρησκευτικές, ιδεολογικές ή αισθητικές προτιμήσεις οι οποίες περνούν στους απογόνους μέσω της μίμησης. O βιολόγος Dawkins προσδίδει στα γονίδια αυτοοργανωτική ικανότητα μέχρι του σημείου να θεωρεί το σώμα ως υποδοχέα των γονιδίων αποτελούμενο από αποικίες γονιδίων υπό καθεστώς διαφοροποίησης. H συνείδηση είναι μια λειτουργία που για τον Dawkins θυμίζει την αρνητική ανάδραση των μηχανών ενώ τα γονίδια δεν έχουν την ικανότητα να ελέγξουν πλήρως τον οργανισμό στον οποίο φιλοξενούνται εξαιτίας της "χρονικής υστέρησης". Tο χρονικό διάστημα που χρειάζονται για τη σύνθεση μιας πρωτεϊνης είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με την ταχύτητα της συμπεριφοράς του υποδοχέα τους, έτσι αυτό που πραγματικά κάνουν είναι να δίνουν το βασικό πλαίσιο της στρατηγικής και των τεχνασμάτων για την επιβίωση...
H ανθρώπινη Φυσιολογία υπεισέρχεται σαν βρόγχος μεταξύ της τέχνης και ζωής, σαν ΤτέχνασμαΥ της ζωήςΙή ίσως η terra incognita του μηχανισμού επιβίωσης, το έργο τέχνης τουΙMε τη δήλωση "παραστατικός και ρεαλιστικός ζωγράφος" ο Klein τοποθετείται στην ευρωπαϊκή παράδοση, χρησιμοποιεί το σώμα ως μέτρο της υπέρβασής του. Tο άλμα στο κενό είναι μια πράξη που υπαινίσσεται το πέρασμα σ' ένα νέο, ανώτερο σύστημα αναφοράς, όπου ο καλλιτέχνης φέρνει το σώμα στο σημείο της επανεισόδου του στον κόσμο με τον τρόπο που μια κοσμική σήραγγα, ένας λεπτός σωλήνας χωροχρόνου, θα μας οδηγούσε σε μία απομακρυσμένη περιοχή του σύμπαντος ώστε να υπερπηδηθεί το φράγμα της ταχύτητας του φωτόςΙ[10]

Aναφορές
1. Christopher Cherniak από το βιβλίο το Eγώ της Nόησης, σε επιλογή των Douglas Hofstadter-Daniel Dennett, σελ. 324:"
2. Damjan Bojadziev : Mind versus Goedel, http://nl.ijs.si/~damjan/g-m-c.html
3. Frederick Turner, " Biology and Beauty", σελ. 406, Incorporations, Zone press 1992.
4. N .Wiener, Kυβερνητική, ή έλεγχος και επικοινωνία στα ζώα και στις μηχανές, εκδ.Kαστανιώτη.
5. Γονίδια, Mακρομόρια και Yπολογιστές, (Genes, Macromolecules, -&- Computers), Ram Samudrala , http://www.ram.org/ramblings/dream/philosophical_issues.html
6. Σκιές του Nού, μετ. Aργύρης Kλαδούχος, εκδ. Γκοβόστη 1997, για την αγγλική έκδοση, The Emperor's New Mind, by Roger Penrose. Oxford University Press, Oxford, New York, Melbourne, 1989.
7. Can Humans Escape Goedel? A Review of Shadows of the Mind by Roger Penrose , Daryl McCullough, http://psyche.cs.monash.edu.au/v2/psyche-2-04-mccullough.html
8. Douglas J. Futuyma, Evolutionary Biology", third edition, Sinauer Associates, Massachusetts, 1998.
9. Στιβ Tζόουνς, Πώς μετακινήθηκε η εξέλιξη από το σώμα στο πνεύμα, συνέντευξη στον Παύλο Παπαδόπουλο, εφ. το Bήμα, 19/12/99.
10. Tην πιθανότητα ενός ταξιδιού στο χρόνο απέδειξε ο Goedel το 1949 στηριζόμενος στις εξισώσεις της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν προτείνοντας ένα μοντέλο περιστρεφόμενου σύμπαντος. Ωστόσο το σύμπαν αυτό στερείται φυσικού νοήματος και η υπόθεση μπορεί ως εκ τούτου να απορριφθεί. (βλ. "Tο βέλος του Xρόνου", σελ. 144, P.Coveney-R.Highfield, εκδ.Kάτοπτρο 1991.)