[Отражение и пречупване] [Събирателна система - леща, обектив] [Главни равнини и точки на събирателна система] [Връзка между обектното, образното и фокусното разстояние - инвариант на Аббе за нулевите лъчи] [Пречупваща сила на леща - диоптър]
[Измерване фокусното разстояние на непознати събирателни системи: ...на тънка събирателна и разсейвателна леща; ...на разсейвателна леща с помощта на позната събирателна леща; ...на дебела леща/обектив по метода на Аббе; ...на дебела леща/обектив, чрез увеличението при проекция на образ; ... на дебела леща/обектив, чрез втори познат обектив, с измерване на изходния отвор]
[Възможни грешки в методиките на измерванията, водещи до неточни резултати]

      Ако светлинна вълна, разпространяваща се в дадена среда, достигне повърхност на друга среда, също прозрачна за нея, но с оптична плътност различна от тази на първата, част от светлината ще се отрази в повърхността, а друга част ще премине през нея, навлизайки във втората среда, като при това ще промени посоката си на разпространение, т.е. ще се пречупи.

      Ъглите на падане и пречупване a и b са свързани в следната зависимост (закон на Снелиус, 1625 г.):

където n₁ и n₂ са абсолютните показатели на пречупване, съответно (в случая) за въздушната и за стъклената среда. c₁ и c₂ са скоростите на разпространение на светлината в тези среди. Щом първата среда е въздух, за който n₁ е приблизително равно на 1, според горната формула ще имаме:

O₁ и O₂ - центрове на сферите, чиито сечение е двойно-изпъкналата леща (в пример b имаме плоско-изпъкнала леща - отрез от сфера, пресечена с равнина).
r₁ и r₂ - радиуси на сферите, респ. на кривините на лещата. При изчисления, радиусите на тези кривини, чиито геометрични центрове са вляво от тях, се вземат със знак минус (ходът на светлината е отляво-надясно). В случая радиусът r₂ на двойно-изпъкналата леща е с отрицателен знак.
L - светлинен лъч, попадащ в лещата успоредно на главната оптична ос.
F - главен фокус.
P - главна равнина на лещата (или оптична плоскост - вижте следващите фигури).
f - фокусно разстояние.

      По аналогичен начин могат да се разглеждат останалите видове лещи: двойно-вдлъбнати, плоско-вдлъбнати, събирателни и разсейвателни менискови. За повече информация вижте темата Видове оптични лещи според геометричните им форми.

      Ако се знаят радиусите на кривините на лещата и показателят (коефициентът) на пречупване n на стъклото, от което е изработена тя, може да се пресметне фокусното й разстояние.
      За повечето марки стъкла, показателят на пречупване n_D за средата на натриевия дублет, с дължина l=589.3 nm, има стойности между 1.51 и 1.75.


      За фокусното разстояние на плоско-изпъкнала леща имаме:



      За тънка двойно-изпъкнала леща имаме:



      За дебела двойно-изпъкнала леща имаме:



      където d е дебелината на лещата, измерена в нейната среда.

      Противопосочните лъчи L₁ и L₂ попадат в системата паралелно на главната й оптична ос. Продълженията (представени с пунктири) на попадащите и пречупените от системата лъчи L₁' и L₂' се пресичат в точките Q₁ и Q₂, определящи предната и задна главни равнини - P₁ и P₂. Точките H₁ и H₂, в които оптичната ос пробожда перпендикулярно главните равнини, се наричат главни точки. Разстоянията H₁F₁ и H₂F₂ са съответно предното и задно фокусно разстояние на системата - f₁ и f₂.
      Ако разстоянието между главните равнини P₁ и P₂ е пренебрежимо малко, то системата може да се разглежда като тънка леща.

      При различно отстояние на даден обект от една събирателна система, неговият образ се проектира на различно разстояние зад нея. По-долу са илюстрирани няколко случая.

      Пречупващата сила W на дадена леща се измерва в диоптри (D), което е реципрочната стойност на фокусното й разстояние в метри, т.е. W=1/f. Силата на събирателна леща е положителна, а на разсейвателна - отрицателна.
      Например събирателна леща с f=1 м ще има сила +1 D, с f=0.5 м ще е +2 D, с f=0.2 м ще е +5 D и т.н. Разсейвателна леща с f=-0.5 м ще има сила -2 D, с f=-02 м ще е -5 D и т.н. Фотообектив с f=50 mm ще има сила +20 D. Обектив на микроскоп с f=5 mm (0.005 м) ще има сила +200 D.
      При деклариране на параметрите на сложни оптични системи - обективи, окуляри и др., пречупващата им сила в диоптри рядко се упоменава. Указването на фокусното им разстояние е по-практично.

      Със задоволителна точност можете да измерите фокусното разстояние на тънка събирателна леща, като проектирате с нея образите на много отдалечени обекти върху екран и измерите разстоянието от екрана до равнината P на лещата, т.е. до нейната среда.
      Много е удобно да проектирате слънчевото изображение върху белия екран. Поради голямото разстояние до Слънцето, образното разстояние, на което неговото изображение се построява зад лещата, е рвно на фокусното.
      Друг вариант е чрез използване на колиматор. Поставяйки изследваната леща пред неговия обектив, на разстояние зад нея равно на фокусното й ще получите образа на процепа, намиращ се във фокалната равнина на колиматора.

      При разсейвателните лещи задачата е малко по-сложна. Необходимо е лещата да се задиафрагмира с отвор (диафрагма), чийто диаметър да е сравнително малък спрямо диаметъра на измерваната леща и да бъде точно известен. Диафрагмата може да бъде просто отвор, изрязан в по-голям картон, който се поставя пред лещата. След това през последната се пропуска успореден светлинен сноп от ярък отдалечен светоизточник, желателно точков, но с добро приближение това може да бъде и Слънцето. Зад лещата по протежение на главната оптична ос се движи бял екран и се фиксира в това положение, при което диаметърът D на светлия кръг, образуван от преминалата през лещата разсейваща се светлина, е два пъти по-голям от диаметъра d на диафрагмата (D/d = 2). Предварително с пергел може да се изчертае върху екрана окръжност с този двукратен диаметър и да се следи при какво разстояние f ' между екрана и лещата, цялата площ, оградена от окръжността, ще бъде запълнена от осветеното поле.
      Ако мислено продължим конуса, чиято основа е осветеният кръг на екрана, като знаем, че равнината на лещата P пресича конуса през половината от височината му, би следвало върхът на конуса да се намира пред лещата, на разстояние f, равно на това от равнината P до екрана. Върхът на конуса ще бъде главният фокус F на лещата.
      Накратко - разстоянието f ' от лещата до екрана е равно на фокусното разстояние f.
      Желателно е картонът, в който е изрязан отвора на диафрагмата, да бъде с размери, позволяващи засенчването на екрана от страничната светлина, която иначе би преминала покрай лещата. Така ще може по-добре да се наблюдава светлия кръг върху екрана (неговата осветеност е по-малка!).

      Методите с използване на успореден светлинен сноп от далечен точков светоизточник (изкуствена звезда) са за предпочитане, тъй като са лесни и гарантират добра точност, без да изискват конструиране на сложни установки. Но понякога е удачно да заместим успоредния сноп с фокусиращ се, получен след пречупване на светлината през събирателна леща.
      Нека зад позната събирателна леща с пречупваща сила примерно +4 диоптъра (+4 D), да поставим непозната разсейвателна леща, възможно най-близко зад първата, дори с допир. Пропускаме успореден сноп лъчи през двете лещи (може и слънчева светлина) и измерваме резултантното фокусно разстояние. Нека то примерно е 50 см. Знаем, че пречупващата сила W в диоптри на дадена система е W_[D]=1/f, където f е в метри и пресмятаме: 1/0.5 = 2 D. Но ние знаем, че познатата ни събирателна леща е с +4 D, откъдето намираме пречупващата сила на разсейвателната, чрез разликата 4-2 =2 и вземаме резултата с отрицателен знак. Реално имаме разсейвателна леща с пречупваща сила -2 D.
      Тук не вземаме предвид разстоянието между главните равнини на двете лещи, но при условие, че ги придържаме една до друга с допир, считаме, че то е пренебрежимо малко в сравнение с фокусните им разстояния. Така отчитайки разликата в диоптрите, можем да постигнем задоволителна точност при измерване на тънки непознати разсейвателни лещи с неголяма пречупваща сила, но при условие, че познатата събирателна леща е оптично по-силна от разсейвателната.

      За да бъде обаче всичко коректно, трябва да се състави установка, която да позволява измерване на разстоянието между равнините на познатата събирателна и непознатата разсейвателна леща. Това би позволило по-точно измерване на лещи с по-голяма пречупваща сила.

      Постройте образа на светоизточник върху екран, с помощта на позната събирателна леща (фигурата по-горе). Светоизточника може да е по-близо до лещата. Той може да бъде например лампичка на електрическо фенерче със свален рефлектор. Отдалечавайте или приближавайте екрана, докато върху него се появи добре фокусираният образ на светоизточника - жичката на лампичката. Измерете образното разстояние r от екрана до равнината на лещата.

      Сега поставете изследваната разсейвателна леща между събирателната и екрана, на разстояние L от събирателната. Образът на светоизточника върху екрана ще се разфокусира. Отдалечавайте екрана назад, докато отново получите върху него ясен образ на жичката. Сега този образ ще бъде поне малко увеличен. Измерете разстоянието B от равнината P₂ на разсейвателната леща, до екрана. Измерете и разстоянието L между равнините P₁ и P₂ на двете лещи. Ще ви е необходимо да знаете и разстоянието A между равнината P₂ на разсейвателната леща и предишната позиция на екрана, то е:

Сега от основната формула за тънката сферична леща:

можете да намерите фокусното разстояние f на разсейвателната леща, със забележката, че A се взема със знак минус. Поради това и f ще се получи отрицателно:

      Друг способ е чрез измерване на резултантното фокусно разстояние f _рез. на двете лещи заедно, по някои от методите, описани в тази статия - по метода на Аббе или чрез увеличението при проекция на образ. Припомняме, че е необходимо събирателната леща да бъде оптично по-силна от разсейвателната, за да може двете лещи заедно да имат общ фокусиращ ефект! После като знаете фокусното разстояние f₁ на събирателната леща, ще намерите и фокусното f₂ на разсейвателната, по формулата:

      Като знаете резултантното фокусно разстояние f_рез. на цялата система и фокусното разстояние f₁ на събирателната леща, по отношението между двете можете да определите с колко пъти разсейвателната леща е удължила общото фокусно:

където V е удължението (увеличението) на фокусното разстояние в пъти. Този принцип е в сила при използване на леща на Барлоу или на телеконвертор, при удължаване на фокусното разстояние на телескоп или фотографски обектив.

      Чрез този метод можем да пресметнем фокусното разстояние на всяка непозната събирателна система, като съпоставим увеличенията, получени при две последователни проекции на един и същи обект, преместен на различно разстояние спрямо главната равнина на изследваната система.

      С изследвания обектив проектираме образа на обект върху отдалечен екран. Обекта е с размер m, а неговият образ - с размер M₁. Разстоянието между обектива и обекта е много по-късо от разстоянието между обектива и екрана, затова при проекцията имаме увеличение V₁ (в пъти):

където X₁ е разстоянието, на което се намира обекта зад главния фокус F₁ (вижте горната фигура).

      Отдалечаваме обекта m от главния фокус F₁, до разстояние X₂ и приближаваме екрана към обектива, докато отново получим ясно фокусиран образ на обекта. Този път обаче образът ще е с по-малки размери M₂, което значи по-малко увеличение V₂:

Разстоянието L, на което сме преместили обекта (и което трябва да се измери), е разликата между X₂ и X₁:

Търсеното фокусно разстояние f на системата ще бъде:

      Достатъчно е да се сглоби установка, удовлетворяваща следните условия:
      Зад обекта с размери m се поставя светоизточник, излъчващ по-интензивен светлинен сноп - например диапроектор или фотоувеличител със свален обектив. Най-малкото, поставете зад обекта мощна лампа и матово стъкло пред нея!
      С изследвания обектив се проектира образа на обекта m върху отдалечен екран, поставен например на около 3 метра - преценете това според очакваното фокусно разстояние на самия обектив и според размерите на стаята.
      При отдалечаването на обекта в стъпка 2, трябва да има възможност преместването L да се измери точно. За целта обектът може да се прикрепи перпендикулярно към нониуса на шублер, поставен легнал върху масата и застопорен неподвижно. Предвидете възможност преместването да се извършва чрез плъзгане на нониуса, при което L ще се отчита директно по скалата на шублера.
      Удобно е като обект да ползвате прозрачна линийка с нанесена върху нея милиметрова скала, като след проекцията й, с друга линийка директно се отчитат върху екрана увеличението V в пъти.
      Колкото е по-голяма разликата между увеличенията при двете проекции V₁-V₂ (т.е. колкото по-голямо е преместването L в стъпка 2), толкова по-реален ще бъде крайния резултат, тъй като грешката при измерването на M₁ и M₂ ще бъде по-малък процент от стойността на разликата между тях!

      Нереален резултат можете да получите ако неточно отчетете размерите M₁ и M₂ на образа при двете проекции върху екрана или когато правите измерванията след недобре извършена фокусировка. Размерите на недофокусирания образ са леко различни от тези на добре фокусирания.
      Ако изследваният обектив не е в състояние да построи достатъчно контрастен образ върху екрана, ще бъдете затруднени при установяването на точна фокусировка и после - при отчитането на размерите на образа. С това реалистичността на резултатите ви може да бъде под въпрос! Такъв проблем съществува при изследване на несъвършени оптични системи - единични лещи, двуменискови обективи-перископи и др.

      Този метод е най-лесен за реализация. Както при метода на Аббе, ще трябва да приготвите установка от обект прикрепен към матово стъкло, лампа или кондензорна оптика на включен прожекционен апарат, изследваният обектив и отдалечен екран, върху който ще прожектирате образа на обекта.
      Като обект е подходяща милиметрова мрежа, отпечатана върху прозрачно фолио или както в горния случай - скала на прозрачна милиметрова линийка. Образът на обекта ще прожектирате върху екрана с изследваната събирателна система, като с обектив на диапроектор или киномашина. Необходимо е разстоянието до екрана да бъде поне 3 - 4 метра и да се работи в затъмнена стая. Ако изследваният обектив не е симетричен, необходимо е да го обърнете със задната му леща към обекта.

      Запалете лампата зад матовото стъкло и прожектирайте образа на обекта върху екрана. Размерите m на обекта трябва да са ви известни. Фокусирайте добре и измерете размера M на образа. Пресметнете увеличението V, получено при проекцията:

      Измерете и образното разстояние B - от екрана на стената до обектива. Тъй като едва ли се знае точното местоположение на предната главна равнина на обектива, можете да измерите разстоянието по-грубо - например до предния край на тубуса му. Тъй като B е от порядъка на няколко метра, то евентуална неточност от няколко милиметра или дори 1 - 2 см ще доведе до несъществена грешка в крайния резултат (при сравнително къс фокус на изследваната събирателна система).

В сила е сладната зависимост:

откъдето можете да намерите обектното (предметното) разстояние A:

Сега вече знаете както образното разстояние B, така и обектното A.

От основната формула за тънка сферична леща:

      Забележка:
      При измерванията в този и в останалите методи, описани тук, трябва да се има предвид следното:
      Фокусировката на образа и измерването на полученото увеличение V при проекциите да се извършват само по деленията в образа на милиметровата скала (или мрежа), намиращи се близо до образния център, т.е. около точката, в която главната оптична ос пробожда перпендикулярно екрана. Необходимо е също прозрачната милиметрова линийка или мрежа да е застопорена зад обектива също перпендикулярно на главната оптична ос!
      Фотографските обективи са конструирани така, че да рисуват контрастен образ по цялата площ на плоския кадър, чийто диагонал понякога значително превишава фокусното разстояние на самия обектив (при широкоъгълните фотообективи). Това означава, че ако отчетете увеличението V по деленията, оставащи в края на зрителното поле, т.е. далеч от образния център, вие ще получите фокусно разстояние, различно от обявеното в документацията на обектива!
      При други конструкции е възможна обратната грешка! Например двуелементните обективи-ахромати, с каквито най-често са комплектовани телескопите-рефрактори, биноклите и далекогледните тръби, рисуват остро само в централната част на фокалната си равнина, т.е. недалеч от главния фокус. При тези обективи се наблюдава силно изразен астигматизъм и сферично изкривяване на изображението, поради които отчитането на V по крайни деления би довело до пресмятане на фокусно разстояние, по-късо от това по протежение на главната оптична ос!

      Пример, илюстриращ прилагането на метода:
      С непознат фотографски обектив проектираме образа на милиметрова мрежа или скала на прозрачна линийка върху екран, отдалечен от обектива на 4 м (B =4000 mm). Обективът е обърнат със задната си леща към линийката. След фокусирането измерваме, че 1 mm от скалата на линийката се изобразява върху екрана в отсечка с дължина 79 mm, т.е. имаме увеличение V =79 пъти.

      Сега намираме обектното (предметното) разстояние A между обекта (линийката) и задната главна равнина на обектива. То е:

Остана да пресметнем търсеното фокусно разстояние f:

т.е. имаме нормален фотографски обектив за кадър лайка формат.

      Тъй като образното разстояние B е много по-голямо от обектното A, то с известно приближение можем да приемем обектното разстояние като равно на фокусното, т.е. че A е приблизително равно на f. Виждаме от примера, че разликата между тях е само 0.633 mm. Ако обаче образното разстояние B се увеличи още, тази грешка ще намалее (защото A намалява). Затова при достатъчно голямо образно разстояние и сравнително късо очаквано фокусно, можем да приемем, че f = B/V. Така си спестяваме едно пресмятане.

      Теоретично този метод гарантира висока точност, но при практическата му реализация можете да имате трудности при точното измерване на диаметъра на изходния успореден светлинен сноп, получен чрез показаната по-долу установка.

      На известна дистанция зад първия обектив, чиито фокусно разстояние f₁ се знае, поставете изследвания обектив, обърнат към първия с тази си страна, с която остава към окуляра или филма по време на обичайната му употреба (т.е. така, както се монтира на фотоапарата или в тубуса на телескопа). Много е удобно за първи обектив да ползвате фотообектив - нормален или дългофокусен, чийто параметри са известни (диафрагмата му се отваря максимално).
      През така сглобената установка ще трябва да пропуснете успореден светлинен сноп, излъчен от отдалечен точков светоизточник. За такъв може да ви послужи ярка отдалечена лампа, избрана сред нощните светлини. Светлинният сноп ще попада в познатия обектив, като диаметъра му d₁ ще се определя от апертурата D₁ на същия обектив.

      Изгасете осветлението в стаята и насочете установката през отворен прозорец към избраната лампа от градските светлини. Гледайте през втория (изследвания) обектив, като през окуляр на далекогледна тръба. Фокусирайте като движите единият обектив спрямо другия, докато видите ясно образа на лампата. Дали ще видите умален или увеличен образ, зависи от отношението на фокусното разстояние f₁ на първия (познатия) обектив, към фокусното f₂ на изследвания. Ако сте с нормално зрение, можете да считате, че щом виждате добре фокусирано изображениието на лампата, то светлинният сноп, напускащ изследвания обектив, е успореден. За да бъде всичко коректно обаче, можете да проверите това с парче бял картон или с матово стъкло. Като приближавате или отдалечавате стъклото зад изследвания обектив, диаметърът на светлото кръгче върху него не трябва да се променя! За да виждате добре светлото кръгче върху картона, е необходимо избраната лампа да бъде достатъчно ярка, картона да е бял и зрението ви да е добре адаптирано към мрака. На практика всичко това е възможно.
      Когато виждате ясно изображението на лампата, т.е. когато изходният светлинен сноп зад изследвания обектив е успореден, главните фокуси на двата обектива съвпадат в точка F.

      Остава най-съществената процедура - да измерите възможно по-точно диаметъра на изходния светлинен сноп. За целта можете да ползвате предварително приготвено плоско стъкло със залепено върху него парче милиметрова хартия. Това стъкло поставете зад изследвания обектив и отчетете диаметъра на светлото кръгче върху милимеровата хартия. Можете да си помогнете с лупа, като наблюдавате под увеличение милиметровата мрежа отзад, през прозиращата хартия. В момента на отчитането трябва стъклото да е перпендикулярно на главната оптична ос. Затова можете просто да го опрете челно отзад на тубуса на изследвания обектив.

      Между фокусните разстояния f₁ и f₂ на двата обектива и диаметрите d₁ и d₂ съответно на входящия и изходящ светлинен сноп, съществува следната зависимост:

откъдето можете да намерите търсеното фокусно разстояние f₂ на изследвания обектив:

      Трябва да се внимава диаметърът d₂ на изходния светлинен сноп да остава поне малко по-малък от апертурата D₂ на изследвания втори обектив. Ако d₂ = D₂, може да се подозира, че периферните лъчи на светлинния поток, осигурен от първия познат обектив, остават отрязани поради недостатъчната апертура D₂ на втория обектив. Това може да стане ако относителния отвор на втория изследван обектив е по-малък от този на първия. Например ако D₂/f₂ = 1:8, а D₁/f₁ = 1:4, ще имаме отрязване на периферните лъчи от потока.

      След като пресметнете фокусното разстояние f₂ на изследвания обектив, можете да определите още един негов параметър - апертурата му D₂. При по-просто устроените обективи е достатъчно само да измерите диаметъра на първата леща, но при някои конструкции това може да ви подведе! Такива са например много от широкоъгълните фотообективи, чиято първа разсейвателна леща обикновено е с по-голям диаметър от реалния действащ отвор на обектива, при максимално отворена диафрагма. В такива случай можете да приложите описания по-горе метод със следните изменения:
      Поставете изследвания обектив като първи, а след него закрепете познат, но при условие, че този път отношението D₁/f₁ на познатия обектив е по-голямо от очакваното D₂/f₂ на изследвания. Така диаметърът на изходния сноп d₂ ще бъде по-малък от апертурата D₁ на познатия обектив и няма да се отрязват периферните лъчи на потока, осигурен този път от изследвания обектив.

      Вече приготвената установка насочете отново през прозореца към отдалечената лампа, фокусирайте и измерете диаметъра d₂ на изходния светлинен сноп, напускащ познатия обектив.

      Сега ще имате пропорцията:

      След като f₂ е вече известно, лесно можете да пресметнете търсената апертура D₂:

      Познаването на тази зависимост е от полза при анализа на параметрите на различни оптични прибори. В статията посветена на биноклите подробно е описана връзката между светлосилата и диаметъра на изходния отвор при тези прибори. Разбира се, същото се отнася за телескопи, далекогледни тръби и др.